线段树 算法详解


在自然数,且所有的数不大于30000的范围内讨论一个问题:现在已知n条线段,把端点依次输入告诉你,然后有m个询问,每个询问输入一个点,要求这个点在多少条线段上出现过;

最基本的解法当然就是读一个点,就把所有线段比一下,看看在不在线段中;

每次询问都要把n条线段查一次,那么m次询问,就要运算m*n次,复杂度就是O(m*n)

这道题m和n都是30000,那么计算量达到了10^9;而计算机1秒的计算量大约是10^8的数量级,所以这种方法无论怎么优化都是超时

因为n条线段是固定的,所以某种程度上说每次都把n条线段查一遍有大量的重复和浪费;

线段树就是可以解决这类问题的数据结构

举例说明:已知线段[2,5] [4,6] [0,7];求点2,4,7分别出现了多少次

在[0,7]区间上建立一棵满二叉树:(为了和已知线段区别,用【】表示线段树中的线段)

每个节点用结构体:

struct line
{
      int l,r;//左端点、右端点
      int sum;//记录这条线段出现了多少次,默认为0
}tree[16];

和堆类似,满二叉树的性质决定a[i]的左儿子是a[2*i]、右儿子是a[2*i+1];

然后对于已知的线段依次进行插入操作:

从树根开始调用递归函数insert

void insert(int l, int r, int i)//要插入的线段的左端点和右端点、以及当前线段树中的某条线段
{
      if (l == tree[i].l && r == tree[i].r)
      {
            tree[i].sum++; //插入的线段匹配则此条线段的记录+1
            return; //插入结束返回
      }
      if (tree[i].l == tree[i].r)   return;//当前线段树的线段没有儿子,插入结束返回
      int mid = (tree[i].l + tree[i].r)/2;
      if (mid >= r)    insert(l, r, i*2);//如果中点在r的右边,则应该插入到左儿子
      else if (mid < l)    insert(l, r, i*2+1);//如果中点在l的左边,则应该插入到右儿子
      else//否则,中点一定在l和r之间,把待插线段分成两半分别插到左右儿子里面
      {
            insert(l, mid, i*2);
            insert(mid+1, r, i*2+1);
      }
}

三条已知线段插入过程:

[2,5]

–[2,5]与【0,7】比较,分成两部分:[2,3]插到左儿子【0,3】,[4,5]插到右儿子【4,7】

–[2,3]与【0,3】比较,插到右儿子【2,3】;[4,5]和【4,7】比较,插到左儿子【4,5】

–[2,3]与【2,3】匹配,【2,3】记录+1;[4,5]与【4,5】匹配,【4,5】记录+1

[4,6]

–[4,6]与【0,7】比较,插到右儿子【4,7】

–[4,6]与【4,7】比较,分成两部分,[4,5]插到左儿子【4,5】;[6,6]插到右儿子【6,7】

–[4,5]与【4,5】匹配,【4,5】记录+1;[6,6]与【6,7】比较,插到左儿子【6,6】

–[6,6]与【6,6】匹配,【6,6】记录+1

[0,7]

–[0,7]与【0,7】匹配,【0,7】记录+1

插入过程结束,线段树上的记录如下(红色数字为每条线段的记录n):


询问操作和插入操作类似,也是递归过程,略

2——依次把【0,7】 【0,3】 【2,3】 【2,2】的记录n加起来,结果为2

4——依次把【0,7】 【4,7】 【4,5】 【4,4】的记录n加起来,结果为3

7——依次把【0,7】 【4,7】 【6,7】 【7,7】的记录n加起来,结果为1

不管是插入操作还是查询操作,每次操作的执行次数仅为树的深度——logN

建树有n次插入操作,n*logN,一次查询要logN,m次就是m*logN;总共复杂度O(n+m)*logN,这道题N不超过30000,logN约等于14,所以计算量在10^5~10^6之间,比普通方法快了1000倍;

 

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